Quitting While You’re Ahead? Random Walks & Markov Chains

Question:  What if you walked up to a “fair” casino game (50/50 odds of winning) that pays even odds with $10,000, and said you would quit as soon as you’re up $1,000 ? (ie: You either walk out with $11,000 or keep playing until you lose everything)  What are the odds of you leaving the casino with a $1000 profit?

Markov Chain can virtually simulate many random walks of this experiment.  With a large enough sample size, you can get an accurate sense of the odds of walking out with $1,000.

The following code runs this simulation as many times as you want, and tells you how many times you got to $11,000.

#!/usr/local/bin/perl
#!/opt/bin/perl

use Getopt::Long;
use strict;

GetOptions("f:s", "debug", "v");

my $current_round = 0;
my $starting_amt = 10;
my $lost = 0;
my $won = 0;
my $current_amt;
my $x;
my $low_bound = 0;
my $high_bound = 11;

while ($current_round < 100) {
while ($current_amt > $low_bound && $current_amt < $high_bound) {

		#generate a 1 or 0
		$x = int(rand(1)+.5);

		#adjust to either +1 or -1
		if ($x == 0) {
			$x = -1;
		}

		# update total
		$current_amt -= $x;

		# print current total
		print "$current_amt ";

	}

	print "\n";

	#increment rounds won or lost...
	if ($current_amt == 0) {
		$lost++;
	} else {
		$won++;
	}

	#reset current amount for next round
	$current_amt = $starting_amt;

	$current_round++;
}

print "\nWon = $won\n";
print "Lost = $lost\n";

Answer:  Doing 100 rounds is a large enough sample size to get an accurate result.  On average,  you’ll walk out with $11,000 about 90% of the time you try this experiment.  Why is this still a bad idea?  In practice, gamblers rarely quit while they are ahead, and you still have that 10% odds of a total washout.  Recall, the expected value of this game is still break even.

Here is a sample output of 10 rounds:

Won = 9
Lost = 1

  1. 101 102 103 104 105 104 105 104 105 106 107 108 109 108 109 110
  2. 101 100 101 100 99 98 97 96 97 98 99 100 101 100 101 100 101 102 103 104 105 104 103 104 105 106 105 104 103 102 103 102 103 102 103 104 103 102 103 102 103 102 103 102 101 102 103 102 101 100 101 100 101 100 101 100 99 100 99 98 99 98 97 98 97 98 97 98 97 98 99 100 99 100 99 100 99 100 101 100 99 98 99 98 99 98 97 98 97 98 99 100 99 100 99 98 97 98 97 98 99 98 99 100 99 98 97 98 97 96 95 96 97 96 97 96 95 94 93 94 95 94 95 94 95 96 95 96 95 96 95 96 95 96 97 98 99 100 101 100 101 102 103 104 103 102 103 102 101 100 101 100 101 102 103 104 105 106 105 106 105 104 103 102 103 104 105 106 105 104 105 106 105 106 105 106 105 106 107 106 105 106 105 104 103 102 103 102 103 104 103 104 103 104 103 102 103 102 101 102 101 102 101 102 101 102 103 104 105 104 103 102 103 104 103 104 105 104 105 106 105 106 105 104 105 104 105 104 105 106 105 106 107 106 105 106 107 106 107 106 105 104 105 104 103 102 101 102 101 100 101 100 99 98 99 98 99 100 101 100 101 102 103 102 103 102 103 104 105 106 107 106 107 108 107 106 105 106 107 106 105 106 107 108 107 106 107 108 107 106 107 108 107 106 105 106 107 106 107 108 109 108 107 108 107 108 107 106 107 106 107 108 107 108 109 108 107 106 105 106 105 104 105 106 105 104 103 102 103 104 105 104 103 104 103 102 103 104 103 104 103 104 103 102 101 100 99 98 97 98 99 100 99 100 101 100 99 100 101 100 101 100 101 100 101 102 103 104 105 106 107 106 107 106 105 106 107 108 107 106 105 106 107 106 105 106 105 104 103 102 101 100 101 100 99 100 101 102 103 104 103 102 103 104 103 102 101 100 99 100 101 100 99 98 97 98 99 100 99 100 101 102 103 104 105 104 105 104 105 104 103 104 105 106 107 106 105 104 105 104 105 104 103 102 103 102 103 102 101 102 103 102 101 100 101 100 99 98 99 100 101 100 101 102 103 102 103 104 103 102 101 100 101 100 101 102 101 100 99 100 101 100 99 98 99 98 97 98 97 98 99 100 99 98 99 100 101 100 101 102 103 102 101 100 101 102 101 102 101 100 99 100 101 100 101 100 99 100 101 100 99 98 99 100 99 100 101 102 101 102 103 102 103 102 103 102 103 102 101 102 101 102 101 100 101 100 101 100 101 102 101 102 101 102 103 104 103 102 103 102 101 102 101 102 103 104 105 104 103 102 103 102 103 104 103 104 105 106 107 106 105 106 105 104 103 104 105 104 103 102 101 100 99 98 97 98 99 98 99 100 101 102 103 104 103 104 105 104 105 106 105 104 105 106 107 106 107 106 105 104 103 104 103 104 105 104 105 106 105 106 107 106 107 106 105 104 105 104 105 104 103 102 101 102 103 104 105 106 105 106 107 106 107 108 107 106 105 106 105 106 107 106 107 108 109 108 109 110
  3. 101 100 101 100 101 100 101 100 101 102 103 102 103 102 103 104 105 104 105 104 103 104 105 104 105 104 105 104 103 102 103 104 105 106 107 108 109 108 109 110
  4. 99 98 97 96 95 94 95 94 95 94 93 92 91 90 91 92 91 90 89 90 91 92 93 94 93 92 93 94 93 94 95 96 97 98 97 98 99 98 97 96 95 96 95 96 97 98 97 98 97 96 95 94 95 94 93 94 93 92 91 92 91 92 91 92 91 92 91 92 91 92 93 92 91 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 98 99 100 101 102 103 104 105 104 105 106 105 104 105 106 107 108 109 108 107 106 107 106 105 104 105 106 105 106 107 108 107 106 107 106 107 106 105 104 105 106 107 108 109 110
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